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Con ser un fenómeno de la naturaleza de sobra conocido, el arco iris tiene una explicación compleja a la que se puede llegar por aproximaciones sucesivas y que no suele encontrarse en los libros de Física elemental. En este trabajo, pensado como apoyo del profesor no especialista, se proponen algunas pautas de trabajo que faciliten la comprensión del fenómeno y el aprovechamiento didáctico del mismo.
“Ved aquí la señal del pacto que establezco entre mí y vosotros (...): pongo mi arco en las nubes para señal de mi pacto con la tierra (...). Estará el arco en las nubes y yo lo veré para acordarme de mi pacto eterno entre Dios y toda alma viviente y toda carne que hay en la tierra.” (Génesis VIII, 12-16).
Interesarse por la “Física” en abstracto empieza por asombrarse ante los fenómenos del mundo que nos rodea, y tratar de dar una explicación racional y coherente.
El arco iris ha asombrado desde antiguo al ser humano hasta el extremo de llegar a considerarlo como la “firma de Dios”, según se lee en el Génesis.
Si cuando enseñamos física tratamos de despertar en nuestros estudiantes esta curiosidad y potenciarla hasta donde sea posible, no hay duda de que este hermoso fenómeno puede ser un punto de apoyo para profundas reflexiones. Tantas que su explicación no se ha completado hasta hace pocos años, pero a ésta se puede llegar por pasos sucesivos.
La mayoría de libros de física, elementales y no tan elementales, u omiten el tema, que es lo más frecuente, o lo solucionan poniéndolo como ejemplo de la descomposición de la luz blanca por las gotas de agua, pero suelen quedarse ahí.
No obstante, si se tiene la suerte (o la desgracia) de contar con algún alumno de esos con la chispa de la curiosidad intelectual, el docente puede encontrarse ante cuestiones cuya respuesta no es ni mucho menos sencilla. La primera, ¿por qué el arco iris tiene precisamente eso, forma de arco? En las líneas que siguen se trata de resumir lo que, según muchos autores, es todo un tratado de física, sacando el máximo partido didáctico posible a este hermoso y singular fenómeno.
El trabajo se expone a un nivel medio a fin de darle su máxima utilidad a profesores de EE MM o de primeros años de carrera de ciencias y pretende recordar o incluso, dar una primera explicación al docente no especialista -el autor tampoco lo es- y proporcionarle algunas pautas de trabajo en clase.
Lo ideal es partir de la observación directa del arco iris, pero, como es evidente, esto no es posible cuando a uno le apetece, sino cuando ocurre. Una buena forma de observación es disponer de una serie de fotografías o diapositivas.
Como consejo para este tipo de fotos, se recomienda utilizar películas de bastante sensibilidad, unos 400 ASA, y un gran angular de 28 mm. Puede ser conveniente dar un punto más de diafragma que el marcado por el fotómetro. De todos modos, siempre es conveniente tirar una cuantas fotos variando ligeramente las condiciones para posteriormente quedarnos con las mejores.
Los resultados de una cámara AF siempre serán correctos, aunque en manos de un operador experimentado sea mejor el trabajo manual.
El estudio del problema requiere una observación inicial, que puede guiarse con un serie de preguntas como:
• ¿Cuántos arcos hay?
• ¿Qué colores y en qué orden aparecen en el arco iris?
• En caso de haber más de uno, ¿cuál es su posición relativa: son concéntricos o se cruzan? ¿Aparecen los colores en el mismo orden?
• Si aparecen dos arcos concéntricos, ¿cómo es el color de cielo en la región intermedia?
• Cuando aparece un solo arco, ¿qué color tiene el cielo de fondo en sus proximidades?
• Si se mueve la cabeza, ¿se mueve el arco con ella?
• ¿Cuál es la posición relativa entre el sol y el arco?
• ¿Dónde empieza y dónde termina? (1)
• ¿Son siempre coloreados?
Responder con precisión a estas cuestiones no es sencillo y requiere siempre una observación minuciosa del fenómeno, o mejor dicho de un serie de fenómenos en diferentes situaciones, lo que de por sí ya es muy formativo.
Lo normal es que no aparezca más que un solo arco; sin embargo, en algunos casos se dan dos arcos el más “bajo” sobre el horizonte algo más intenso que el más alto con una zona intermedia más oscura. Al arco más intenso se le suele llamar primario, mientras que al otro se le llama secundario. La zona oscura es la llamada “zona de Alejandro”, en honor a Alejandro de Afrodisias (s. II d.C.) filósofo griego que fue el primero en describirlo. Esta zona oscura aparece más difusa aunque no exista el arco secundario.
Las observaciones pueden hacerse algo más cuantitativas si se dispone de algún instrumento destinado a medir la altura de los objetos estelares. Los aparatos de precisión para estos menesteres son caros y difíciles de conseguir, pero en nuestra práctica utilizamos una especie de teodolito casero, útil para múltiples observaciones, cuyo esquema se muestra a continuación:
Este aparato consiste en un semicírculo graduado de plástico fijado con cianoacrilato a una tablilla o listón de aluminio. En el centro se sitúa la mira que es otro listoncillo de cualquier material, por ejemplo una regla de plástico, en el que se fijan mira y pínula. El conjunto pivota en torno a un tornillo que puede fijarse con una palomilla, para más sencillez en la medida. La plomada y el nivel tienen por objeto la correcta nivelación del aparato. Este teodolito puede fijarse en un trípode de fotografía o en un simple listón que se clava en el suelo.
Con él puede medirse la altura del arco iris, medida por primera vez por Roger Bacon en 1266. El arco primario se encuentra a una altura de unos 42º mientras que el secundario está a unos 50º, siempre con la horizontal como referencia. Entre ambos existe pues una separación de unos 8º.
Nosotros en siete observaciones diferentes y para el arco principal, apuntando a la banda violeta con un instrumento descrito hemos obtenido en promedio 41,6º ± 1,6 (Tabla 1).
El arco secundario, en condiciones de observación sólo lo hemos visto 3 veces, obteniendo resultados de 51º, 49º y 48º.
Tabla 1
| Observación | Medida (º) | Para el cálculo y gráficos se ha utilizado la Hoja de Calculo Excel, entre otras razones, debido a su amplia difusión, sencillez de uso y potencia operativa. Para el nivel hasta el que se ha llegado en este trabajo, es suficiente. Para estudios más profundos paquetes más potentes, como Matlab, Marple o Mathematica, darán mejores resultados. | | 1 | 42 | | 2 | 44 | | 3 | 40 | | 4 | 42 | | 5 | 41 | | 6 | 43 | | 7 | 39 | | Media | 41,6 | | Desviación | 1,6 |
Es destacable que la distribución del arco primario presenta el rojo en el lado más alto, mientras que el violeta está en el más bajo. En el secundario ocurre exactamente a la inversa, es decir, el violeta está en la posición más alta y el rojo en la más baja en el lado oscuro. Además en el lado violeta del arco primario aparecen algunos arcos violeta-azul más o menos difusos, son los llamados arcos supernumerarios. (Foto)
Algunos autores han descrito "arcos blancos" pero nosotros no los hemos observado nunca.
- Mas detalles observacionales:
Los arcos siempre se observan en dirección opuesta al Sol y en una posición fija para el observador respecto a él. Sobre el mar o sobre las aguas en general, se reflejan.
| Primer nivel de explicación |
Intentar dar una explicación racional del arco iris y sus propiedades viene de antiguo. Según Aristóteles el arco iris se debería a una especial reflexión de la luz en las nubes, según un ángulo fijo, lo que debería producir un arco, un cono circular de rayos de arco, que entonces no era un objeto, propiamente dicho, sino una serie de direcciones privilegiadas de reflexión de la luz hacia el observador. En 1301 Teodorico de Freiberg, expuso que el arco iris podía formarse con una sola gota de agua y lo verificó con un frasco esférico lleno de agua, que venía a ser una gran gota. También el obispo de Spalato, Antonio de Dominis, dio alguna explicación en esta línea. René Descartes, ignorando los trabajos de Teodorico, postuló la misma explicación, mostrando que el arco iris se produce gracias a los rayos que sufren una reflexión interna en la gota, mientras que arco secundario sufre dos reflexiones, siendo el ángulo de salida de los distintos colores diferentes, de modo que si se observa en una sola dirección sólo se ve un color, por lo que concluyó que los distintos colores procedían de gotas diferentes.
Un primer nivel de explicación es precisamente el propuesto por Descartes, que es posible actualizar, gracias a los medios de que hoy se dispone.
Cuando los rayos solares alcanzan la superficie de una gota de agua en parte se reflejan y en parte se refractan, es decir penetran en el interior de la gota donde a su vez sufren nuevas reflexiones y refracciones, esquemáticamente:
Un rayo incidente A, cuya distancia a al diámetro en la dirección del Sol recibe el nombre de parámetro de impacto, p, incide sobre la gota. Parte de él se refleja, rayo B y parte se refracta, siguiendo las leyes de Snell. Para la refracción, sen α = n sen β, siendo como es sabido α y β los respectivos ángulos de incidencia y refracción y n el índice de refracción del agua, aproximadamente 1,33 (el del aire se toma como aproximadamente igual a 1). El rayo refractado incide sobre la cara correspondiente de la gota, parte se refracta y emerge de la gota y parte se vuelve a reflejar. Simples consideraciones geométricas y la aplicación de las leyes de Snell a la reflexión permiten establecer la igualdad de los ángulos marcados y en consecuencia del ángulo con el que emerge el rayo C, que se verá más adelante que es el responsable de la formación del arco primario, con el incidente, siempre en valor absoluto. Como consecuencia el ángulo de desviación δ vale: δ= 180 - (360 - (2(α - β) - (360 - 2β)))= 180 - (4β - 2α)
Descartes calculó pacientemente las desviaciones de los rayos C en función del parámetro de impacto encontrando que presenta un mínimo para un valor aproximado de 7r/8, siendo r el radio de la gota. Hoy es posible remedar los cálculos de Descartes en unos minutos utilizando una hoja de cálculo, en la que se programa un serie de valores del parámetro p y se obtienen los correspondientes valores de α y β:
En el siguiente gráfico se representa la evolución de los valores de α, β y δ observándose el mínimo, que corresponde a un valor del parámetro de 0,86, con un ángulo de desviación de 138,5º, es decir, totalmente coincidente con el hallado por Descartes:
Jugando una vez más con la hoja de cálculo se puede observar que el índice de refracción varía ligeramente, como realmente ocurre con la “luz blanca” (2) la desviación de los rayos para el mismo parámetro es ligeramente diferente, como se puede observar en la figura 4, en la que se representa el ángulo de desviación para valores de índice de refracción 1,30; 1,32; 1,34 respectivamente frente al parámetro de impacto. También se incluye el ángulo incidente.
En cuanto al rayo procedente de la segunda reflexión, E, su desviación se puede calcular mediante sencillas consideraciones geométricas, d’ = 6b - 2a. Una vez más, recurriendo a la Hoja de cálculo se observa que su comportamiento es inverso a d, es decir, crece y presenta un máximo también aproximadamente a 0,96r y con una valor de 129,87º≈ 130º, como puede observarse en la Figura 5:
Como es obvio, podrían producirse y de hecho se producen más reflexiones internas, que podrían dar lugar a nuevos arcos; sin embargo, en cada paso se pierde energía de modo que las reflexiones de orden superior al segundo dan origen a rayos emergentes muy débiles, por tanto a arcos tan tenues, que resultan invisibles (3).
En resumen, los resultados de ambas simulaciones confirman el resultado experimental dado que la altura del respectivo arco, suplementario del ángulo de desviación, es el esperado.
No obstante todavía quedan puntos por esclarecer, sólo se han tratado los rayos incidentes solares directos pero a la gota llegan, además, multitud de rayos dispersos procedentes de reflexiones con otras gotas o como consecuencia del esparcimiento (4) de la luz por la atmósfera.
Los rayos que han sufrido las reflexiones internas se desvían en una campo muy amplio de direcciones, ¿por qué precisamente aquellos situados en las vecindades de la máxima o mínima desviación intensifican su intensidad?
La primera cuestión puede resolverse pensando que los rayos dispersos son de muy baja intensidad comparados con la luz directa y, en consecuencia, los arcos que producirán serán muy tenues.
Respecto a la segunda cuestión, es decir por qué sólo los rayos que llegan a la gota con un valor determinado del parámetro, o muy próximos a él (5) producen el arco iris y precisamente después de por lo menos una reflexión interna, se puede responder que el primer rayo reflejado B no ha sufrido descomposición, y que en consecuencia no formará arcos. El rayo C es el rayo refractado por la gota y se aleja del observador.
Respecto a los rayos C y E, la intensidad de estos se refuerza en las vecindades del rayo cartesiano ya que la gota está uniformemente iluminada en su cara enfrentada al Sol, el ángulo de desviación en principio disminuye (o aumenta) al aumentar el parámetro de impacto, sin embargo al aproximarse al valor extremo este aumento o disminución es cada vez más lento, de modo que en las proximidades de este valor se “acumulan“ muchos más rayos que para los restantes valores, y además superado el valor del extremo los rayos se desvían hacia atrás de la gota. En resumidas cuentas pues, en las direcciones de 130º y 138º hay una acumulación de rayos. Además en la zona comprendida entre los 130º y 138º (siempre en términos aproximados), no llegará ningún rayo después de la primera o segunda reflexión.
De este modo se explica, por una parte la formación del rayo, y además su forma de arco. Dado que debido a la simetría de la gota no existe un plano privilegiado, el observador recibirá los dos conos de luz, y la zona oscura que corresponderá precisamente a esta región de desviación entre 138º y 130º.
Obsérvese que el tamaño de la gota no interviene en la formación del arco, incluso es posible reproducir la formación del arco, como ya lo hiciera en su momento Descartes, con una gran gota consistente en un balón de vidrio lleno de agua, que se puede improvisar con una vieja bombilla sin casquillo y sistema de filamentos. Incluso puede utilizarse un vaso cilíndrico (6).
Queda por explicar la parte más espectacular del rayo, sus colores. Debido a la diferencia de los índices de refracción en el agua para los distintos colores, estos se desvían de modo diferente. El índice de refracción, que como es sabido es la relación entre la velocidad de la luz en el medio y en el vacío (≈ aire) en el agua es menor cuando menor es la longitud de onda, es decir, cuando más próxima al rojo es la luz y más lentamente se propaga en el agua, y una vez más la simulación en la hoja de cálculo, sólo con tres “colores” por obvias razones de claridad y sencillez, pone de manifiesto que la desviación es mayor o lo que es lo mismo, la altura sobre el horizonte, será menor cuando más próxima al violeta se halle la radiación, viceversa con el secundario.
Newton había calculado que el ángulo de desviación para el rojo era de 137º 58’ y 139º43’ para el violeta, lo que da para el arco primario una amplitud de 1º 45’, pero dado que el Sol no es un punto sino que tiene una amplitud de aproximadamente medio grado, la amplitud del arco primario será de unos 2º 15’. Con el “teodolito casero” es muy difícil estimar esta amplitud, pero trabajando con cuidado se obtienen amplitudes de entre 2º y 3º.
Una última cuestión siguiendo en la misma línea: dada la simetría de la gota, aparecerán dos rayos cartesianos, uno a cada lado, precisamente según el esquema de la figura 1 enviaría el rayo formador del arco “hacia arriba”. Este arco no podría ser visto por el observador en el suelo pero ¿lo sería por alguien que volara por encima de la lluvia? En caso afirmativo ¿qué forma tendría? Todo parece indicar que debería ser un "arco al revés“, pero ¿abierto o cerrado? Y si es abierto, ¿lo será con bordes difusos o cortados? La verdad es que aunque hemos interrogado a amigos pilotos no hemos obtenido respuesta experimental válida, sólo han visto arcos “con los cuernos hacia abajo”, sin embargo el artista alemán Hans Lipska, cuyas ilustraciones, especialmente en la revista “Signal” fueron muy populares durante la II Guerra mundial, tiene una obra “El arco iris que ven los pilotos” que da la respuesta: el arco en un círculo completo.
En resumen, he aquí una explicación, que no requiere conocimientos de física muy elevados, siempre dentro de lo exigible aún en los lamentables programas de física de las enseñanzas previas a la Universidad, (7) es posible explicar de modo riguroso los aspectos fundamentales del arco iris, incluso con un cierto grado de cuantitatividad, quedan empero algunos aspectos más difíciles, como los arcos supernumerarios y los “arcos blancos” o el que el arco no se corte de modo brusco en la banda oscura. Según esta teoría ningún rayo, al menos de clase B o C, debería llegar a la zona de Alejandro, que debería además y en consecuencia ser muy oscura.
| Segundo nivel de explicación |
Una primera explicación a los arcos supernumerarios se debe a Young (1803), que se basa en su propia teoría de la interferencia. Si se observa la figura 4, se ve que en las vecindades del rayo cartesiano, se encuentran siempre dos rayos que, pese a haber seguido caminos ópticos diferentes dentro de la gota, emergen con el mismo ángulo de desviación, uno a cada lado del cartesiano. Con los conocimientos actuales de mecánica ondulatoria se sabe que las intensidades de estos arcos no pueden sumarse algebraicamente, ya que se trata de un fenómeno idéntico al conocido experimento de las dos ranuras del propio Young. Como es sabido, cuando coinciden dos ondas, estas interfieren, esta interferencia puede reforzar la intensidad. El máximo de la interferencia constructiva se produce cuando la diferencia de caminos es un número par de semilongitudes de onda. El máximo de la interferencia destructiva se da cuando la diferencia de caminos es un número impar de longitudes. Los alumnos pueden con facilidad simular las interferencias (Fig. 6) con la hoja de cálculo, lo que puede ser altamente instructivo.
En resumidas cuentas, cuando la diferencia de los ángulos es pequeña, los caminos ópticos en el interior de la gota son muy parecidos y la interferencia es constructiva. El resultado de estas interferencias constructivas son precisamente los arcos supernumerarios. Evidentemente, aquí si es importante el radio de la gota porque el camino óptico depende de él, una sencilla consideración geométrica pone de manifiesto que este camino es  , siendo r el radio de la gota, n el índice de refracción del agua para la radiación implicada y p el parámetro de impacto, como fracción del radio de la gota.
Por otra parte, para una misma gota la separación entre pares de rayos homólogos a su vez va creciendo de modo que inicialmente la interferencia es constructiva, con una intensidad muy grande, es el arco iris, pero la intensidad de la resultante va disminuyendo, hasta que se hace absolutamente destructiva, lo que correspondería a una banda oscura a partir de ahí vuelve a aumentar la intensidad de la interferencia, hasta otro absolutamente constructiva, aún bastante intenso, este primer máximo corresponde al primer arco suplementario y así sucesivamente.
Por otra parte es fácil comprobar, y una vez más la Hoja de Cálculo es una excelente ayuda, que para pares de parámetros homólogos, la separación entre los caminos crece con el radio de la gota; en consecuencia las secuencia de máximos y mínimos puede quedar queda muy próxima y los arcos no se distinguirán (la frontera está aproximadamente en 1 mm). Así, los arcos suplementarios se verán mejor en la parte alta del arco, donde las gotas son menores, que la baja donde son más grandes. Respecto al índice de refracción la separación aumenta más rápidamente para valores de índice de refracción menores, es decir, para aquellas radiaciones que tienden al violeta, de ahí la coloración rosada de los arcos supernumerarios. Cuando la separación entre los arcos supernumerarios sea muy pequeña, pueden “mezclarse” dando un color blanco, de hecho en general, son rosados, no rojos, o verdosos.
La teoría de Young explica la formación de arcos supernumerarios pero, en cierto sentido implica una contradicción en sí misma ya que si las ondas se interfieren, también se difractan y como consecuencia la separación entre las distintas zonas del arco debe ser suavizada por la difracción.
Potter (1935) propuso una idea según la cual el cruce de varios conjuntos de rayos luminosos en una gota daba lugar a una curva cáustica. Este tipo de curvas son las envolventes de un conjunto de rayos; una típica es la que se observa cuando el sol se refleja en una taza y da lugar a dos curvas brillantes que se unen en punta, con una intensidad creciente hasta la curva para entrar bruscamente en una zona oscura. En cualquier caso tanto la explicación de Descartes como las de Young y Potter predicen en el rayo cartesiano una intensidad infinita.
| Tercer nivel de explicación |
Esta explicación se debe a Airy, allá por 1838. Partiendo de los conocimientos que ya se tenía en su época de las propiedades de las ondas, especialmente del principio de Huyggens, según el cual, todo punto alcanzado por una onda se convierte a su vez en foco emisor de ondas esféricas, siendo la envolvente de estas ondas el nuevo frente resultante. Si en un instante dado se conoce un frente de ondas y las amplitudes de las ondas secundarias a él asociadas, es posible predecir el comportamiento de la onda en cualquier punto. Sin embargo este análisis no es rigurosamente posible, solo cabe estimar estas amplitudes.
Airy propuso un frente de ondas en el interior de la gota, normal a todos los rayos clase C y con un punto de inflexión en su corte con el rayo cartesiano. Así pudo predecir la intensidad de la luz del arco iris por medio de un función, que hoy se conoce como función de Airy y que él llamó integral del arco iris. Esta función bastante compleja, aunque deducida de los conocimientos generales y clásicos de la teoría de las ondas, predice un máximo relativo correspondiente al arco primario y máximos menos fuertes para los arcos supernumerarios, pero también existe en la zona oscura, de modo que explica su atenuación gradual. Los máximos se desplazan ligeramente respecto a la teoría de Young y en ningún momento se predice una intensidad infinita.
La teoría de Airy se aplica en rigor a un arco monocromático y puede verificarse experimentalmente con un láser de bolsillo y una gota de agua en la punta de una jeringa o de una bureta. Los rayos policromos deberían considerarse como yuxtaposición de varios monocromáticos. Ahí el tamaño de la gota es decisivo: gotas de unos cuantos milímetros producen arcos claros y brillantes; en gotas muy pequeñas (Ø < 0,01 mm) los arcos aparecen tan juntos que dan la sensación de “blancos”, no debe olvidarse que la percepción del color traspasa la mera física para entrar en la fisiología, y que el sentido de la vista, al contrario del oído, es sintético, no analítico, aunque entrar en el campo del color es otro tema, como es bien sabido, complejo y a su vez puede ser objeto de una fructífera investigación en el aula.
Hasta ahora se ha visto cómo las explicaciones se van aproximando sucesivamente a una explicación definitiva. Esta, desde luego existe, incluso llegando hasta el nivel molecular, lo que significaría "arco iris atómicos”, pero incluso a nivel macroscópico, sin entrar en conceptos mecánico-cuánticos, y utilizando las ecuaciones de Maxwell, es posible una explicación completa del fenómeno, ello no obstante dado el nivel a que va dirigido este trabajo, parece fuera de lugar puesto que requeriría el manejo de conceptos físicos con los cuales estudiantes de bachillerato o primer año de carrera no están familiarizados.
Agradecimientos
A mis colegas la Dra. Carmen García Domingo del C.P.R. de Burgos y a Francisco Alejandro Vinagre Benito, por sus inapreciables consejos.
Notas
(1) Para responder a esta cuestión puede ser necesaria una diapositiva de un arco iris sobre el mar.
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(2) Realmente, como es bien sabido, la luz solar no es blanca estrictamente ya que el foco emisor es la corona solar que se puede considerar en primera aproximación como un cuerpo negro a unos 6000 K. También se considera en todo este trabajo que los rayos solares son paralelos, lo que en estricto rigor no deja de ser una aproximación absolutamente aceptable.
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(3) En el laboratorio, con un poco de buena mano es posible conseguir varios arcos. Véase el articulo de Jearl Walker en Investigación y Ciencia, Septiembre de 1977: “Como crear y observar una docena de arco iris en una sola gota de agua”.
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(4) “Scattering”
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(5) Se le llama ''cartesiano''.
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(6) Por honestidad científica hay que decir que conseguir nos resultados aceptables, no es siempre fácil y que, en nuestro modesto entender, debe descartarse el experimento como “práctica de cátedra”.
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(7) No está de más recordar que en el bachillerato actual los estudiantes solo tienen una asignatura de Física pura en 2º, cuatro horas semanales, no más de unas 60 anuales reales.
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